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By Azriel Rosenfeld

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Allgemeine Idealtheorie der kommutativen Ringe. Eine Folge davon [durch (h -I)-malige Anwendung zu beweisen] ist: Aus Oll = 0 (~) folgt 0 = 0 (~). Eine andere Fassung von Satz IV ist: IV'. Aus b$O(~) folgt q:b = q. Im Restklassenring o/q liegt (wegen ~ ~ q) das Ideal ~/q. Es besteht aus allen nilpotenten Elementen, im Falle q =F 0 also aus allen Nullteilern. Eigenschaften der Primär ideale unter Voraussetzung des Teilerkettensa tzes. Ist ~ das zu q gehörige Primideal, so liegt eine Potenz eines jeden Elements von ~ in q.

Enthält aber 0 ein Einselement e, so ist auch umgekehrt a=a·e;;:a·o, also ° a·o = a. Das Ideal spielt demnach in diesem Fall die Rolle eines Einselements der Multiplikation. Es wird dann vom Einselement erzeugt. Man hat immer (a,o) = 0; a(\o=a. Unter dem Idealquotienten a:o, wo a ein Ideal ist, verstehen wir -die Gesamtheit der Elemente y von 0, für die (3) 'Y b == 0 (a) für alle baus O. Diese Gesamtheit ist ein Ideal; denn wenn y und ~ die Eigenschaft (3) haben, so hat y - ~ sie auch, und wenn y sie hat, so hat ry sie auch.

1 aller Ideale Ui ist ein Ideal. 1. 1. 1 hat nach Voraussetzung eine Basis (al' ... , ar ). Jedes ai liegt in einem Ideal uni' Ist n die größte der Zahlen ni' so liegen a l , . . 1 linear von a l , . . 1 in Un , und daraus folgt Umgekehrt folgt der Basissatz aus dem Teilerkettensatz (Auswahlpostulat vorausgesetzt). Nämlich: Auf Grund des Auswahlpostulats (§ 58) denke man sich in jeder nichtleeren Untermenge von 0 ein Element ausgezeichnet. Es sei nun a ein Ideal, a l das ausgezeichnete Element von a.

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by Christopher
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